Contribution de Anne-Céline BOULANGER, Benoit Perthame & Jacques Sainte-Marie:


Assimilation de données pour des systèmes hyperboliques de lois de conservation admettant une description cinétique.



Nous nous intéressons à l'assimilation de données pour des sytèmes hyperboliques de lois de conservation. Le développement de techniques d'assimilation robustes pour ces EDP sans dissipation est particulièrement délicat. Le back and forth nudging (BFN) proposé par D.Auroux et J.Blum dans [1] a été appliqué à de tels systèmes [2] moyennant un terme de diffusion supplémentaire. Nous proposons ici une nouvelle approche utilisant la description cinétique de certaines lois de conservation [3]. La description cinétique consiste à associer au système macroscopique, une équation de type Boltzmann dont les moments correspondent au système de départ. L'analyse mathématique et numérique menée au niveau microscopique permet alors d'obtenir de puissants résultats utilisés à l'échelle marcroscopique. Le nudging consiste à ajouter aux équations d'état un terme de rappel proportionnel entre les observations et la quantité correspondante. Transposé au niveau cinétique, l'assimilation de données ainsi effectuée nous ramène à un cadre proche des problèmes de type BGK [4]. L'avantage d'une telle écriture est que nous n'avons à traiter qu'une seule équation au lieu d'un système, cette équation étant de plus essentiellement linéaire. Notre étude se divise en plusieurs étapes. Dans un premier temps, nous démontrons -- dans le cadre théorique d'observations complètes en temps et en espace -- la convergence du modèle vers le système cible avec des vitesses dépendants directement de la régularité des données. Dans un deuxième temps et dans le cadre d'observations partielles, nous prouvons la stabilité au bruit de la méthode. Finalement, nous procédons à la validation numérique sur le système de Saint-Venant (EDP hyperbolique non linéaire avec terme source). Le schéma numérique utilisé pour la résolution de ces équations est un schéma cinétique qui permet de traiter de manière naturelle aussi bien le décentrement lié au transport des quantités que le terme source lié à l'assimilation. Références [1] D.Auroux and J.Blum, Back and forth nudging algorithm for datta assimilation problem, C.R.Acad.Sci Paris, 2005. [2] D. Auroux. The back and forth nudging algorithm applied to a shallow water model, comparison and hybridization with the 4D-VAR. Int. J. Numer. Methods Fluids, 61(8):911-929, 2009. [3] B. Perthame, Kinetic formulation of conservation laws., Oxford University Press, 2002. [4] B. Perthame, Global existence to the BGK model of Boltzmann equation, Journal of differential equation, 1989.

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