Contribution de F.-X. LE DIMET, I. GEZADZE & V. SHUTYAEV:


Méthodes du second ordre pour la propagation d'incertitudes



On peut poser le problème de l'assimilation de données comme la reconstruction d'un système à partir d'informations hétérogènes en nature, qualité et densité:modèles, données, statistiques, images. L'approche variationnelle n'est pas qu'une approche algorithmique, elle permet de définir un Système d'Optimalité (S.O.) dans qui contient toute l'information disponible. Tous les ingrédients des méthodes variationnelles contiennent des erreurs qui se propagent vers l'analyse puis la prévision aussi est-il logique que l'évaluation de la propagation des erreurs parte du système d'optimalité. La dérivation du système d'optimalité met évidence un système adjoint du second ordre qui permettra de mettre en évidence les équations gouvernant la propagation des incertitudes. Dans le cas linéaire (ou faiblement non-linéaire) la covariance de l'erreur d'analyse est égale à (approchée par) le hessien de la fonction coût, qui est dérivé de l'adjoint au second ordre. Dans le cas non linéaire l'analyse de la propagation d'erreur permet de définir des problèmes auxiliaires conduisant à l'évaluation de termes correcteurs au hessien de la fonction coût. Ils sont évalués par la résolution, par la méthode de Newton Gauss, d'un problème d'optimisation. Ces termes de compensation peuvent être évalués dans des espaces réduits. On obtient des méthodes beaucoup plus efficaces que les méthodes dites d"ensemble" et aussi fondées sur une base théorique. Des applications numériques seront présentées.

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