Contribution de Jacques BLUM, Didier AUROUX:


Une machine à remonter le temps : le back and forth nudging (BFN).



L'algorithme standard du nudging, encore appelé en automatique observateur de Luenberger ou observateur asymptotique, consiste à ajouter aux équations d'état du système un terme de rappel, proportionnel à la différence entre les observations et la quantité correspondante calculée par la résolution du système des équations d'état. Le modèle apparaît alors comme une contrainte faible et le terme de rappel force les variables du modèle à coller avec les observations. Utilisée d'abord en météorologie (Hoke-Anthes), la méthode a été employée avec succès en océanographie (Verron-Holland). Plus récemment s’est développée la méthode du nudging optimal qui consiste à optimiser la matrice de gain en minimisant la fonctionnelle quadratique d’écart entre observations et quantités correspondantes calculées par le modèle (Zou-Navon-Le Dimet). L'algorithme BFN du nudging direct et rétrograde (back and forth nudging), introduit récemment (Auroux-Blum 2005) consiste à résoudre d'abord l'équation directe avec le terme de nudging, puis en repartant de l'état final ainsi obtenu, à résoudre les mêmes équations de façon rétrograde avec un terme de rappel de signe opposé à celui du nudging direct. On obtient ainsi à la fin de la résolution rétrograde une première estimation de l'état initial. Ce procédé est alors répété de façon itérative jusqu'à la convergence de l'état initial, d’où le terme de back and forth nudging (BFN). L’algorithme du BFN doit être comparé au 4D-VAR (contrôle optimal), qui consiste aussi en une succession de résolutions de systèmes direct et rétrograde. Mais dans l'algorithme BFN (Back and Forth Nudging), il est inutile de linéariser le modèle comme dans le 4D-VAR et le système rétrograde n'est pas l'équation adjointe mais le système des équations du modèle avec le terme de rappel qui en fait un problème bien posé. La contrainte du calcul de l'adjoint, complexe et coûteuse, n'existe donc pas avec cette méthode. L’algorithme BFN est donc beaucoup plus simple à programmer que les autres algorithmes. Les expériences numériques (Auroux-Blum 2008, Auroux) réalisées sur le système chaotique de Lorenz, sur l’équation de Burgers, sur un modèle quasi-géostrophique et sur les équations de Saint-Venant sont très encourageantes, le nombre d'itérations assurant la convergence étant plus faible que celui du 4D-VAR et surtout l'implémentation en est beaucoup plus facile. Des études de sensibilité au bruit sur les observations ou à des erreurs sur le modèle ont également été réalisées. Cet algorithme consiste donc en une approche beaucoup plus simple que le contrôle optimal, visant à identifier l’état initial d’un système à partir d’observations réparties en temps ou en espace. Références : 1) J. Hoke, R.A. Anthes : The initialization of numerical models by a dynamic initialization technique, Month. Weather Review, 104 (1976) 1551-1556 2) J. Verron, W.R. Holland : Impact de données d’altimétrie satellitaire sur les simulations numériques des circulations générales océaniques aux latitudes moyennes, Ann. Geophys. 7 (1989) 31-46 3) Zou, X.; Navon, I.-M.; Le Dimet, F.-X.: An Optimal Nudging Data Assimilation Scheme Using Parameter Estimation, Quart. J. Roy. Met. Soc. 118 (1992) 1193-1186 4) D. Auroux, J. Blum : Back and forth nudging algorithm for data assimilation problems, CRAS Paris Ser.1 340 (2005) 873-878 5) D. Auroux, J. Blum : A nudging-based data assimilation method : the Back and Forth Nudging (BFN) algorithm, Nonlin. Processes Geophys. 15 (2008) 305-318 6) D. Auroux : The back and forth nudging algorithm applied to a shallow water model, comparison and hybridization with the 4D-VAR, Int. J. Numer. Meth. Fluids (2008) sous presse

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